Desde que los primeros seres humanos habitaron la Tierra, una gestión de recursos adecuada y eficiente siempre ha sido cuestión de supervivencia. En el Paleolítico, los cazadores-recolectores vagaron de forma nómada, desplazándose estacionalmente cuando los recursos se acababan. En el Neolítico, aparecen los primeros núcleos poblacionales a medida que se aprendió a cultivar y domesticar animales. Las primeras civilizaciones nacen precisamente próximas a ríos, que aseguran agua y tierras fértiles. Desde ese punto en la historia hasta hoy, el concepto de recurso ha evolucionado para incluir no solo elementos naturales básicos como agua o comida, sino también metales, minerales o energía. Otros recursos son manufacturados artificialmente por nosotros, mientras que algunos son incluso intangibles. En general, los recursos suelen ser definidos como los activos requeridos por personas u organizaciones para funcionar con normalidad.
Así, se da escasez de recursos cuando la cantidad disponible de un determinado recurso es inferior a lo requerido. La Figura 1 proporciona unos buenos ejemplos. Algunos recursos escasos son de primera necesidad, como el agua: menos del 1% del agua disponible en la superficie de la Tierra es fácilmente obtenible para el uso humano. Su distribución desigual sobre el planeta, el cambio climático y el crecimiento demográfico crean un estrés cada vez mayor en estos recursos hídricos, tan necesarios como limitados. Otros recursos escasos promueven la supervivencia humana, como las vacunas: en el caso de la COVID-19 y tras la disputa inicial por la limitada capacidad productora entre Reino Unido y la Unión Europea, los países ricos acapararon la mayoría de dosis mientras que países más pobres no tuvieron más remedio que conformarse con coberturas de inmunización en la población mucho menores. Ciertos recursos escasos, como los tecnológicos, pasan a resultar muy valiosos por su carácter estratégico. Tanto es así que la escasez de microchips, utilizados (entre otros) en automoción y electrónica de consumo, ha llegado a generar tensiones geopolíticas entre países.
Desde un punto de vista económico y social, resulta interesante analizar cómo repartir recursos escasos. Es algo que nos ha tocado hacer a todos en algún momento: dividir una cuenta en un restaurante, trocear una pizza o… ¡hasta repartir caramelos! En estas conversaciones suele aparecer el término de “justicia”, pensando que existe una única e inequívoca manera de impartirla. En este artículo, veremos que es un poco más difícil y menos universal de lo que nos podríamos pensar.
Para ello, nos llevamos el concepto de “justicia” a un caso práctico de reparto de mercancía, según la Figura 2. Supongamos que una fábrica, F, suministra vacunas a 6 hospitales: H.1, H.2, H.3, H.4, H.5 y H.6. Cada hospital tiene una demanda de vacunas diferente y se encuentra a una distancia distinta de la fábrica F. La suma de las demandas individuales de cada uno de los seis hospitales es 360, pero la fábrica F solo tiene capacidad para producir la mitad, 180. ¿Qué hacemos, cómo lo repartimos? Las matemáticas nos pueden ayudar a decidir.
Lo que nos dice el dinero. El coste de la red.
La optimización del coste en una red logística es un tipo de problema ampliamente estudiado en la Ciencia de Localización, una rama dentro de la disciplina de Investigación Operativa y Matemáticas Aplicadas. En libros como [1] se describen detalladamente problemas matemáticos como la localización de fábricas y hubs o el trazado de rutas logísticas. En la mayoría de las ocasiones, la función objetivo a optimizar suele ser el coste de la red de transporte. En nuestro caso, el coste total se calcula como la suma de los costes individuales de reparto a cada hospital: el número de vacunas asignadas multiplicado por su distancia a la fábrica F. La resolución de este problema de optimización proporciona la red logística de la Figura 3.
Para aprovechar toda la capacidad de la fábrica F y obtener la red logística más barata posible, que es de 13818 unidades monetarias, el modelo asigna recursos a los hospitales más cercanos hasta completar sus demandas. Empieza por el hospital más cercano, H.2, completa su demanda de 24 vacunas y pasa al siguiente, y así sucesivamente.
Si bien ello resulta efectivo en coste, puede no ser justo: el hospital H.5 ve solo un quinto de su demanda satisfecha, mientras que al hospital H.6 no se le reparte ninguna vacuna por ser el más alejado. ¿Cómo podemos obtener una solución más justa?
Lo que se nos ocurre por lógica. El reparto proporcional.
Una primera forma intuitiva para obtener una solución más justa es aplicando la regla proporcional, de uso común en multitud de situaciones [2]. Para este problema de localización, podemos imaginarnos la proporcionalidad de repartos reales según la capacidad limitada de la que disponemos. Realizar un reparto proporcional de recursos nos lleva a la solución de la Figura 4.
Este modelo ahora reparte a cada hospital justo la mitad de lo que pide, ya que la capacidad de la fábrica F (recordemos, 180 unidades) es la mitad que la suma de la demanda total (de 360 unidades). El coste de la red aumenta a 19455 unidades monetarias, indicando que priorizar repartos justos se aleja de la red que optimiza el coste.
Sin embargo, este tipo de reparto premia con más recursos a los hospitales que más piden: mientras H.1 solo recibe 12 vacunas, los hospitales H.5 y H.6 reciben más del triple. ¿Pueden repartirse los recursos de una forma más igualitaria?
¿Y si subimos escalones? El reparto de igual ganancia o igualitario.
Una segunda manera de repartir recursos escasos consiste en el principio de igual ganancia, detallado en trabajos como [3]. Para este problema de localización, la igual ganancia consiste en ir añadiendo recursos a todos los hospitales en escalones de una unidad, partiendo desde cero. Se añaden recursos hasta que se satisface la demanda de un determinado hospital, o bien se acaba la capacidad de la fábrica F. La solución aplicando este principio se encuentra representada en la Figura 5.
Al repartir los recursos uno a uno a todos los hospitales por igual, a H.1 se le entrega su demanda al completo. El resto de hospitales acaban con 31 vacunas, a falta de una vacuna por repartir desde la fábrica F; obviando este resto, el coste de la red logística es de 16268 unidades monetarias, más barata que el caso proporcional pero más cara que la red más optimizada.
Se pueden aplicar varios criterios para repartir esta vacuna que actúa como resto: si queremos una red más barata se la entregamos a H.2, pero si queremos preservar el orden de las demandas se la debemos entregar a quien más vacunas ha pedido, H.6. Ahora bien, ¿existe algún modo de repartir que premie lo más posible el hecho de que H.6 sea quien más recursos ha pedido?
¿Y si preferimos bajar los escalones? El reparto de igual pérdida o déficit.
Una tercera forma para repartir estas vacunas es el principio de igual pérdida, discutido en trabajos como [4]. La igual pérdida es la otra cara de la moneda de la igual ganancia. En vez de partir desde cero y añadir escalones de uno en uno, la igual pérdida parte de la demanda completa y resta escalones de uno en uno. Esta resta de recursos ocurre hasta que un hospital se quede a cero o bien se llegue a la capacidad de la fábrica F. Aplicado a nuestro problema, la solución con el principio de igual pérdida queda representada en la Figura 6.
Al restar los recursos uno a uno a todos los hospitales por igual, H.1 se queda a cero por la baja demanda que pide. Al resto de hospitales se les restan 32 vacunas respecto de sus demandas iniciales. En este caso, la igual pérdida deja 4 vacunas restantes a repartir entre 5 hospitales, requiriendo de criterios adicionales para distribuirlas (si a los más cercanos, si a los que más piden…). Sin considerar estos restos, el coste de la red logística escala a 22166 unidades monetarias, precisamente por repartir un récord de 76 vacunas al hospital que más ha pedido y el más alejado, H.6.
¿Podemos probar más cosas? Otros métodos para repartir.
Si bien la proporcional, la igual ganancia e igual pérdida son reglas muy intuitivas para ilustrar repartos más justos en situaciones de escasez de recursos, existen muchas más. Por ejemplo, trabajos como [5] sugieren la minimización del índice de Gini, frecuentemente utilizado como medida de desigualdad en contextos económicos.
En cualquier caso, una vez más, las matemáticas nos ayudan no sólo a modelizar problemas de redes logísticas y escasez de recursos, sino que nos proporcionan diversas reglas para tratar la justicia y equidad en situaciones en las que resulta difícil realizarlo. A la larga, esto promueve una toma de decisiones más informada, eficiente y justa.
Referencias
[1] Laporte, G., Nickel, S., & Saldanha-da-Gama, F. (2020). Introduction to location science. In Location science (pp. 1-21). Cham: Springer International Publishing.
[2] Christodoulou, G., Sgouritsa, A. & Tang, B. On the Efficiency of the Proportional Allocation Mechanism for Divisible Resources. Theory Comput Syst 59, 600–618 (2016). https://doi.org/10.1007/s00224-016-9701-5
[3] Herrero, C. (2003). Equal awards vs. equal losses: duality in bankruptcy. In Advances in economic design (pp. 413-426). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.
[4] Alcalde, J., Peris, J.E. Equalizing solutions for bankruptcy problems revisited. Decisions Econ Finan 45, 481–502 (2022). https://doi.org/10.1007/s10203-022-00373-y
[5] Drezner, T., Drezner, Z., & Guyse, J. (2009). Equitable service by a facility: Minimizing the Gini coefficient. Computers & operations research, 36(12), 3240-3246.
