Desde un punto de vista matemático, algunos objetos son sencillos y otros no. Los matemáticos hablan de la sencillez que manifiesta un objeto de diferentes modos, pero una forma común es la siguiente: los objetos sencillos son aquellos en los cuales, si estuviesen hechos de un líquido — como agua o jabón de manos — podríamos hacer desaparecer cualquier lazo dentro del objeto simplemente tirando de él hasta reducirlo a un punto, pero sin salirnos del objeto. Por ejemplo, una naranja lo cumple. Pero entonces ¿es cualquier objeto sencillo?
Una rosquilla, que es tridimensional, no lo es: si lanzamos un lazo que rodee su agujero, no hay forma de recogerlo sin salirse de la rosquilla. El lazo siempre se quedará atascado en el agujero. ¿Y que ocurre con los objetos bidimensionales?
Esta sencillez la cumple la esfera bidimensional, que viene dada por la superficie de una bola de billar, sin contar el relleno. Pero para un flotador de piscina de esos que los niños llevan rodeando sus cinturas — que es lo mismo que una rosquilla sin relleno — no se cumple. Además del lazo que rodea al agujero, cualquier lazo dado por una sección vertical del flotador tampoco se puede reducir (aunque esto si que sea cierto para la propia rosquilla porque al estar rellena el lazo vertical se puede contraer).
Cuantos más lazos irreducibles posea, más complicado es nuestro objeto. Por supuesto solo debemos contar aquellos lazos que sean genuinamente diferentes, entendiendo por ello que no vale que uno se pueda deformar al otro, ni que un lazo se pueda obtener combinando otros dos.
De hecho, aunque resulte increíble, si sabemos cuantos lazos irreducibles hay en un objeto bidimensional, podemos reconstruir completamente el objeto, siempre que este sea compacto y sin borde. ¿Qué quieren decir estos conceptos?
siguiendo las indicaciones de Álvaro Pelayo.
Un objeto bidimensional es compacto si se puede cubrir completamente por una cantidad finita de discos bidimensionales. Casi todos los objetos bidimensionales son compactos, pero un plano no lo es porque necesitaríamos infinitos discos. Por otro lado, el borde de un objeto es aquella parte del objeto que si caminando sobre dicho objeto, lo superamos ligeramente, entonces nos salimos del mismo: por ejemplo, el borde de un círculo es la circunferencia que lo delimita. Lo curioso es que tanto un flotador como una esfera carecen de borde (caminando sobre el objeto nunca te sales). Pero si cogemos un trozo de tubería cilíndrica, su borde consiste de las dos circunferencias que la delimitan.
Estos conceptos son válidos también en dimensión tres, si cambiamos los discos por bolas tridimensionales (como una bola de billar), y pensamos en el borde como el molde que rodea al objeto. Por ejemplo, el borde de una rosquilla es el molde bidimensional que rodea la rosquilla, es decir, la parte que corresponde a la forma del flotador. En el caso de una bola de billar, su borde viene dado por la esfera bidimensional que la delimita.
Pensemos ahora solo en objetos compactos y sin borde. Los matemáticos han verificado que si un objeto bidimensional no posee lazos irreducibles, es una esfera, salvo deformaciones — como achatarla o estirarla. De hecho, en topología, que es una importante rama de las matemáticas, si dos objetos se pueden deformar el uno al otro entonces se consideran el ¨mismo¨.
Teniendo esto en mente, no hay ningún objeto que posea exactamente un lazo irreducible. Si tiene exactamente dos lazos, entonces el objeto es el flotador del niño. Tampoco hay ningún objeto bidimensional con tres lazos, pero sí con cuatro, es un flotador doble (con dos agujeros, para dos niños). Y así sucesivamente.
Así que los lazos, que son unidimensionales, son la clave para entender objetos bidimensionales. ¿Y es el caso también en dimensión tres?
Fuente: Esta figura fue implementada a ordenador por Luis Crespo Ruiz (Universidad de Cantabria)
siguiendo las indicaciones de Álvaro Pelayo.
En dimensión tres, los lazos siguen siendo fundamentales. De hecho, hay una fascinante conjetura, del matemático francés Henri Poincaré (1904), que relaciona lazos con la esfera tridimensional.
¿Qué es la esfera tridimensional? Pues si la esfera bidimensional consiste de los puntos del espacio que están a distancia 1 del cruce de los ejes, la esfera tridimensional consiste de los puntos en el espacio de cuatro dimensiones que cumplen esa misma condición. El espacio de cuatro dimensiones es como el espacio en que vivimos, pero con una dimensión adicional, que normalmente es el tiempo. Al estar en un espacio de cuatro dimensiones, la esfera tridimensional no se puede visualizar espacialmente, aunque los topólogos tienen sus formas de pensar en ella, con una intuición que lleva tiempo desarrollar.
Para visualizar la esfera tridimensional tenemos que pensar en como se pegan dos objetos en topología. Básicamente, consiste en solapar sus bordes. Por ejemplo, si pegamos dos discos bidimensionales por sus bordes, que son circunferencias, nos sale una esfera bidimensional (si inflamos el interior).
La esfera tridimensional es el resultado de pegar dos bolas de billar por sus bordes, y aunque es verdad que podemos visualizar el proceso de pegar, no podemos visualizar el resultado final: es un objeto tridimensional puramente abstracto que no cabe dentro de nuestro mundo tridimensional. La conjetura de Poincaré dice que la esfera tridimensional es el único objeto tridimensional en el cual cualquier lazo se puede contraer, recogiendo la cuerda y sin salirse del objeto, a un punto.
Aunque la conjetura fue formulada hace más de cien años, se resolvió afirmativamente a primeros de siglo. Por su resolución Grigori Perelman, que usó el trabajo de Richard Hamilton, fue galardonado con la Medalla Fields y un millón de dólares del Instituto Clay — los rechazó ambos.
La solución involucró ideas que no tenían tanta relación con la topología, con lo cual la demostración no era del todo accesible a muchos de los expertos tradicionales. Que yo sepa sigue siendo un reto encontrar una demostración que solo use herramientas tradicionales de topología.
