Imaginemos que salimos de casa y encontramos el suelo mojado. No hemos visto llover, pero concluimos que ha llovido o está lloviendo. No es una certeza absoluta, pero sí una conclusión razonable a partir de la información disponible.
Inferir consiste precisamente en eso: extraer información que no observamos directamente a partir de indicios u observaciones parciales. Es algo que hacemos a diario. Cuando este razonamiento se apoya en datos numéricos y métodos formales hablamos de inferencia estadística, cuyo objetivo es describir o comprender una realidad más amplia a partir de información limitada. A diferencia de las matemáticas puras, la estadística no ofrece conclusiones exactas, sino inferencias acompañadas de un grado de incertidumbre. El azar no es un defecto del método, sino parte esencial de lo que se quiere medir.
En muchos problemas reales, el objeto de estudio es un conjunto bien definido y limitado: una ciudad, una empresa, un conjunto de pacientes, etc. A ese conjunto lo llamamos una población finita.
La teoría de muestras se ocupa de obtener información sobre esa población observando solo una parte de ella, una muestra, que utilizamos para describir el conjunto.
Un ejemplo clásico es el control de calidad. Supongamos que una empresa quiere saber cuántos productos defectuosos produce una línea de fabricación. El objetivo estadístico es la estimación de la probabilidad π de producir una unidad defectuosa. El problema se convierte en un problema de muestreo en una población finita si solo estamos interesados en las unidades producidas durante un día determinado. En ese caso, queremos estimar la proporción p de la producción diaria que no cumple las especificaciones.
Para estudiar una población finita podemos examinar todos sus elementos (censo) o analizar solamente un grupo reducido de elementos (muestra). El muestreo reduce costes, permite obtener resultados con mayor rapidez y permite abordar estudios más amplios con recursos limitados. Además, al centrarse en menos observaciones, suele mejorar la calidad de los datos.
En el muestreo determinístico, la selección de los elementos se hace siguiendo criterios razonados, apoyándose en un supuesto conocimiento previo de la población. Es un método barato, pero no permite medir la precisión de los resultados: no sabemos hasta qué punto la muestra representa realmente a la población y puede introducir sesgos difíciles de detectar.
El muestreo aleatorio soluciona este problema introduciendo el azar en el proceso de selección, pero requiere definir claramente (modelizar) los mecanismos aleatorios que generan los datos de la muestra. Este artículo explica sucintamente las fuentes de aleatoriedad en la inferencia (estimación, predicción y medición del error) en poblaciones finitas, desde una perspectiva frecuentista.
Un ejemplo de inferencia en una población finita
Un profesor universitario va a impartir un curso de Estadística para graduados en Derecho y Periodismo. El curso comienza el 1 de febrero y admite un máximo de 5 estudiantes por titulación, con un total de N = 10 estudiantes. Esa será la población de estudio.
Antes de empezar las clases, el profesor quiere hacerse una idea del nivel matemático de sus futuros alumnos y para ello prepara un pequeño cuestionario. Los aspectos que le interesa conocer, las variables objetivo, son:
w: puntuación de una prueba matemática inicial
z: nota media del expediente académico.
Otras variables del cuestionario son el número de orden que ocupa el alumno en el listado de admitidos que publica el rectorado (1-10), y el DNI de cada alumno. Además, recoge algunos datos generales —edad, titulación, sexo— que le permiten describir mejor al grupo.
La normativa universitaria limita la carga de respuesta y no permite encuestar a más del 40 % de los alumnos de una asignatura. En consecuencia, el profesor se limitará a observar una muestra de tamaño n = 4.
Para organizar la información, el profesor prepara una hoja de cálculo (archivo censal) con 10 filas (una por estudiante) y varias columnas (una por variable).
El objetivo es estimar el nivel medio de matemáticas y la nota media del expediente del conjunto de la clase, aunque solo se disponga de datos completos de cuatro estudiantes.
Cuando el azar está en la muestra: inferencia basada en diseños muestrales
Llegado el 1 de febrero, el profesor ya sabe quiénes son los 10 alumnos matriculados y dispone de información básica sobre todos ellos —edad, titulación, datos administrativos—, pero tiene que seleccionar a los 4 alumnos que realizarán el cuestionario completo.
El profesor los elige al azar, extrae una muestra aleatoria de n= 4 filas del archivo de datos mediante algún tipo de muestreo (diseño muestral). Por ejemplo, puede hacer un muestreo sin reemplazamiento y probabilidades iguales de tamaño 4, MSRPI(4), en la población global, o unos MSRPI(2) independientes dentro de los dos estratos definidos por la variable titulación.
Una vez realizada esa selección, el profesor pasa el cuestionario únicamente a los estudiantes elegidos. De ellos obtiene la nota media del expediente (variable z) y el resultado de la prueba de matemáticas (variable w). Del resto, no sabe nada más.
Supongamos que los alumnos seleccionados resultan ser los alumnos con número de orden 2, 4, 8 y 10. El objetivo es estimar las medias poblacionales (w1 + w2 + … + w10) / 10 y (z1 + z2 + … + z10) / 10. El profesor lo hace con las medias muestrales:
(w2 + w4 + w8 + w10) / 4 y (z2 + z4 + z8 + z10) / 4, respectivamente.
Esa media no es el valor real del grupo completo, pero sí una estimación razonable basada en los datos observados.
En este enfoque, las posiciones de los estudiantes en el archivo censal son fijas: cada alumno tiene su número de orden asignado por el rectorado. Las notas medias del expediente de cada alumno (variable z) son constantes fijas desconocidas, ya existen y tienen un valor concreto. El azar no afecta a cuál es su nota, sino solo a si el profesor la observa o no. Por eso decimos que la media poblacional es un parámetro determinístico que se estima.
La variable w es en esencia aleatoria: no sabemos qué puntuación obtendrá un alumno antes de hacer la prueba de matemáticas. Sin embargo, el enfoque basado en el diseño muestral se sitúa después de la realización de la prueba, de modo que también sería determinístico: los valores de la variable w los tiene el rectorado, pero el profesor no conoce los que no forman parte de la muestra.
Los libros Särndal et al. (1992) y Lohr S.L. (2006) dan una introducción al muestreo e inferencia en poblaciones finitas bajo la distribución del diseño muestral.
Cuando el azar está en la población: inferencia basada en modelos
Imaginemos ahora que el profesor quiere preparar las clases con mayor antelación, antes de disponer del listado de alumnos de la asignatura. El profesor no sabe en qué orden van a aparecer los alumnos en la lista de matriculados, y hay 10! = 3.628.800 posibles ordenaciones. Por ese motivo, el orden final que observa el profesor puede interpretarse como el resultado de un proceso aleatorio.
En este nuevo enfoque, el azar no actúa al seleccionar a los estudiantes de la muestra, sino antes, al determinar qué alumno ocupa cada posición en el archivo de datos. Una vez fijado ese orden, el profesor puede decidir, por ejemplo, analizar los cuatro primeros alumnos de la lista. La selección de la muestra es ahora determinista, pero la población, tal como aparece organizada en el archivo, es el resultado del azar.
La variable z es aleatoria, cuyos valores serán conocidos por el rectorado cuando termine el proceso de matriculación, pero no observados por el profesor. Por otra parte, las filas del archivo censal en la muestra se eligen determinísticamente. La muestra está fija. Para la variable w se puede asumir la misma fuente de aleatoriedad que para la variable z, pues en enero (antes de hacer la prueba) es aleatoria para todos los alumnos.
Por este motivo, el objetivo del análisis ya no es estimar un valor fijo previamente existente, sino predecir cuáles serán los valores medios de la clase una vez que el proceso se haya completado. Las medias poblacionales dejan de considerarse parámetros fijos desconocidos y pasan a interpretarse como cantidades inciertas, cuyo valor se intenta anticipar antes de que los datos estén plenamente disponibles.
Este enfoque también se conoce como Teoría de la Predicción en poblaciones finitas. Véase el libro de Vaillant et al. (2000). Una aplicación de esta teoría surge con la Estimación en Áreas Pequeñas, donde hay que predecir parámetros de subpoblaciones con tamaño muestral pequeño, como muestran los libros de Rao y Molina (2015) y Morales et al. (2021).
Cuando el azar actúa por partida doble: inferencia basada en diseños y modelos
Siguiendo con el ejemplo anterior, el profesor puede asumir que el orden en el que aparecen los alumnos en la lista de matriculados es, en principio, el resultado de un proceso aleatorio. Sin embargo, también es consciente de que la llamada ley de Murphy es inexorable.
Por ejemplo, si la lista viene ordenada por titulación y él decide seleccionar siempre a los cuatro primeros alumnos, podría ocurrir que todos pertenecieran a Derecho. En ese caso, estaría basando sus conclusiones en un subgrupo muy concreto de la clase, que no tiene por qué reflejar el comportamiento del conjunto.
El problema es aún mayor si el orden está relacionado con la variable de interés. Si los alumnos estuvieran ordenados por nota media y el profesor eligiera siempre a los primeros, sus conclusiones conducirán casi con seguridad a una predicción sesgada.
Para evitar este tipo de situaciones, el profesor decide “curarse en salud” y seleccionar aleatoriamente las 4 filas del archivo censal.
En este escenario hay dos fuentes de aleatoriedad. Por un lado, como no se sabe qué alumno va a ocupar cada fila en el archivo censal, los valores que van a tomar las variables w y z son aleatorios y sus distribuciones provienen de un mecanismo de selección de permutaciones o, más generalmente, de modelos estadísticos. Por otro lado, no se sabe qué fila se va a incluir en la muestra: los valores de la columna “muestra” son aleatorios y obedecen a un diseño muestral.
La calidad de esa predicción dependerá de ambos factores: del modelo que describe los datos y del diseño del muestreo.
Entender el azar para confiar en los datos
Como el suelo mojado al salir de casa, muchas de nuestras conclusiones nacen de información incompleta. La estadística nos proporciona una forma rigurosa de llegar a ellas, y el azar —bien utilizado— convierte esa incertidumbre en conocimiento.
Como hemos visto a lo largo de este artículo, comprender de dónde procede el azar y cómo interviene en nuestros datos permite distinguir entre estimar, predecir y, sobre todo, confiar en los resultados.
