Imagina que estás organizando una celebración con amigos y deseas que acuda el mayor número de invitados y que la velada sea un éxito. En tu mano están algunas decisiones: la hora de convocatoria, el menú que se va a cocinar o la música que se va a poner. Sin embargo, otras decisiones, como la reacción de los invitados, escapan de tu control: cada uno de ellos decidirá si asiste o no; alguno puede llegar tarde porque prefiere ir a jugar un partido de fútbol antes; otro puede que no disfrute del menú porque es vegano y prácticamente no prueba bocado; finalmente, alguno puede que se vaya pronto porque al día siguiente madruga.
Por tanto, el éxito de la celebración no depende solo de lo bien que cocines, sino de lo bien que seas capaz de anticipar cómo van a reaccionar tus invitados a tus decisiones. Si pones la cena muy tarde, sabes que los que madrugan no vendrán; si el menú es muy cerrado, alguien se quedará con hambre.
Posiblemente no lo sabes, pero estás resolviendo un problema de optimización binivel.
¡Vaya nombre extraño! ¿De dónde viene?
Cada día, y casi en cada momento, tomamos decisiones. Tener claro cuál es el objetivo que se quiere alcanzar es el primer paso para lograrlo o acercarnos a su consecución. Sin embargo, nuestras decisiones están restringidas, es decir, en ocasiones, no se puede lograr todo lo que nos gustaría conseguir. Resolver un problema de optimización consiste en identificar qué decisiones tomar para obtener el mejor resultado posible con los medios disponibles [1].
En la organización de tu celebración no solo tú tomas decisiones. Una vez que la organizas, cada uno de los invitados toma su propia decisión sobre asistir o no teniendo en cuenta esa organización. Se pueden identificar dos niveles de decisión, tú como anfitrión en un nivel superior, porque decides en primer lugar, y los invitados, en un nivel inferior, porque reaccionan a tus decisiones, para tomar la suya. Ellos no organizan la fiesta, pero deciden si van o no.
Cuando existe esta estructura jerárquica con dos niveles de decisión, es decir, el conjunto de decisiones que puede tomar el nivel superior, llamado espacio de factibilidad, está condicionado por la elección que toma el decisor en el nivel inferior, se tiene un modelo de optimización binivel [5]. Fue en la década de los 70 del siglo pasado cuando se comenzó a llamar así a este tipo de modelos. En este contexto, generalmente, se denomina líder al decisor en el nivel superior de la jerarquía y seguidor al decisor en el nivel inferior.
Cuando el líder quiere conseguir el mayor beneficio económico
¿Cómo puede una empresa tomar las decisiones que maximicen su beneficio cuando son sus propios clientes quienes, en respuesta a las condiciones ofrecidas, deciden si utilizan el servicio y en qué medida? La optimización binivel modeliza este escenario [3]. Veámoslo con un ejemplo simplificado.
Una empresa quiere fijar el precio de venta por botella de cuatro marcas de agua, que a ella le cuestan al mismo precio. Tiene seis potenciales clientes de los que conoce sus preferencias y lo que están dispuestos a pagar como máximo por una botella. La información aparece en la Figura 1. Para cada cliente, se muestra su presupuesto y, en la parte central, el grado de preferencia, que se mide según el tamaño del corazón. Es decir, si, por ejemplo, Lucía puede comprar con su presupuesto una botella de Brisa pura o de Zénit glaciar, elegirá la de Brisa pura porque la prefiere más. Un aspa indica que el cliente no está interesado en la marca correspondiente.
Cuando la empresa estudia la situación, se da cuenta de que no tiene sentido poner a ninguna de las marcas un precio superior a 1.2 €, porque nadie podrá comprarla. Tampoco tiene mucho sentido que ponga todas las marcas al precio más alto, porque solo Manuela comprará Zénit glaciar, obteniéndose 1.2 €. Si, por ejemplo, los precios fueran:
| Fuente clara | Brisa pura | Aqua natura | Zénit glaciar |
| 0.8€ | 0.3€ | 1.0€ | 0.7€ |
Todos los clientes pueden comprar alguna de las marcas. Manuela, Águeda y Francisco compran la marca Zénit glaciar, Lucía compra Fuente clara, y Alejandro e Iker compran Brisa pura. La compañía obtiene 3.5 €. Esta solución se puede mejorar desde el punto de vista de la empresa. La decisión óptima sobre los precios es:
| Fuente clara | Brisa pura | Aqua natura | Zénit glaciar |
| 0.7€ | 1.0€ | 0.9€ | 1.2€ |
Con estos precios, la compañía obtiene 4.5 €. Manuela compra la marca Zénit glaciar, Alejandro la Brisa pura, Águeda la Aqua Natura y Lucía y Francisco la Fuente clara. Iker no puede comprar ninguna de las marcas.
En este ejemplo hemos proporcionado directamente la solución óptima, pero ¿cómo se calcula? Los detalles técnicos quedan fuera del alcance de este artículo, pero cabe señalar que existen distintos métodos para resolver este tipo de problemas. En general, los métodos intentan expresar la reacción del nivel inferior de una forma equivalente para que el problema binivel pueda resolverse como un problema de optimización de un único nivel, que resulta más sencillo de abordar con las técnicas de resolución habituales. Cómo llevar a cabo esa transformación eficientemente… eso ya es otra historia.
Fijar el precio de los peajes en una autopista es otro ejemplo del tipo de situaciones abordables desde la perspectiva de la optimización binivel. Una vez fijados los precios, los usuarios calculan la ruta más conveniente y deciden si les compensa pagar el peaje. Si el precio es elevado, muchos optan por rutas alternativas y la compañía pierde ingresos. Si es demasiado bajo, el sistema atrae a más usuarios, pero no necesariamente genera el beneficio esperado: puede provocar más congestión y reducir la satisfacción de los usuarios.
Cuando hay que atender a todos los usuarios y sus preferencias
En el ejemplo anterior, con los precios óptimos por la compañía, uno de los clientes no podía comprar ninguna de las marcas. En la nueva situación que vamos a considerar, la empresa debe atender a todos los usuarios respetando sus preferencias.
En este caso, una empresa de autobuses debe recoger a un conjunto de trabajadores en diferentes paradas situadas en los barrios de una gran ciudad para trasladarlos al lugar de trabajo. Para ello, debe determinar qué paradas establecer de entre las posibles, cuántos autobuses utilizar y qué rutas seguir, con el objetivo de minimizar el coste total.
Además, ha de tener en cuenta la capacidad de los autobuses y que a cada trabajador no se le puede obligar a ir a una parada que esté más lejos de un límite establecido. La estructura jerárquica del problema viene dada por el compromiso de la empresa de que cada trabajador podrá elegir, de entre las paradas establecidas, la que más le convenga según sus preferencias. Garantizar este compromiso requiere formular el problema como un modelo de optimización binivel [4].
Veamos un ejemplo sencillo. Supondremos que cada autobús tiene capacidad para 7 trabajadores y que cada trabajador desea ir a la parada establecida más cercana a su vivienda. En la figura de la izquierda se han seleccionado 5 paradas de las 7 posibles, la 1, 2, 3, 5 y 6, y se realizan dos rutas. Esta solución no satisface el compromiso de la empresa, ya que los trabajadores cuya figura aparece en rojo no pueden ir a su parada más cercana, la 5, porque el autobús que realiza la ruta amarilla ya ha completado su capacidad. En la solución de la derecha, en cambio, la parada 5 ha sido sustituida por la parada 7, lo que garantiza que todos los trabajadores acuden a la parada establecida más cercana a su domicilio. Esto implica, sin embargo, un mayor coste para la empresa, ya que las rutas resultan más largas.
La clave está en la jerarquía
Los ejemplos presentados son solo una pequeña muestra de la amplia variedad de situaciones en las que la optimización binivel resulta una herramienta adecuada.
La clave para identificar este tipo de problemas reside en reconocer una estructura jerárquica en el proceso de toma de decisiones: un agente toma decisiones que condicionan el entorno en el que otros agentes actúan de forma independiente buscando su propio beneficio, y esas reacciones, a su vez, afectan al resultado del primero.
Siempre que se dé esta interdependencia entre dos niveles de decisión, la optimización binivel ofrece un marco riguroso y potente para encontrar la mejor estrategia en el nivel superior de la jerarquía.
