Hasta hace poco más de cien años matemáticos se preocupaban principalmente de fenómenos cuantitativos como el cálculo de áreas o volúmenes, o analíticos como las reglas de las derivadas y las ecuaciones que se pueden formar con ellas. Genios como Newton o Leibniz inventaron el cálculo diferencial, que se basa en cuantificar la variación infinitesimal de procesos o variables, y gracias al cual se pueden describir gran parte de las leyes de la naturaleza, la economía, la ingeniería y un interminable etc.
Por ejemplo, si queremos entender la teoría de la relatividad general de Einstein, debemos dominar las matemáticas que la rigen, y aquí entra un tipo muy famoso de geometría: la geometría riemanniana. Einstein se sirvió de esta peculiar geometría, que lleva el nombre de sus creador Bernhard Riemann, para plasmar de modo riguroso y manejable, sus geniales intuiciones físicas sobre el espacio-tiempo. En su teoría, era importante el concepto de ¨curvatura¨, es decir, el saber cuantificar como de curvado está un objeto o un espacio, y las ideas de Riemann le fueron esenciales para plasmar su visión de modo cuantitativo.
La superficie de una mesa tiene curvatura cero, mientras que la superficie de una esfera tiene curvatura positiva dada por una fórmula que depende del radio, y que se va haciendo más pequeña conforme su radio aumenta. El concepto de curvatura es un ejemplo magnífico de como cuantificar (asignar un número) una idea cualitativa (estar curvado), y aunque se remonta probablemente a la antigua Grecia, a su desarrollo han contribuido una larguísima lista de científicos, incluyendo Leonard Euler y Carl F. Gauss.
Estas matemáticas – como la mayoría de las matemáticas que se han desarrollado en la historia – están ligadas a lo cuantitativo, es decir, a medir y asignar números.
Imaginemos que vamos por la autopista M-30 de Madrid, con prisas por llegar al trabajo, y nos entra una llamada de un amigo. Le decimos que ¨vamos muy rápido¨. «¿Qué quieres decir?», nos pregunta con toda la razón, ya que no es lo mismo que vayamos a 75 km/h o a 120 km/h.
Los números son cruciales porque a partir de ellos sabemos como de rápido vamos. En el segundo caso nos van a multar casi con certeza e incurrimos en un riesgo grave, mientras que en el primero probablemente no, dependiendo del tramo. Es decir, cuantificar la velocidad es primordial en este caso. Matemáticamente la velocidad es la variación del espacio con respecto al tiempo (su derivada, en el sentido de Newton y Leibniz), y tiene una fórmula que cualquier estudiante de bachillerato maneja. De modo análogo, si nos dicen que un meteorito va a impactar la tierra, queremos saber día y hora, sin esa información cuantitativa de poco nos sirve.
Pero hay una rama de las matemáticas fascinante, la topología, que se preocupa por fenómenos cualitativos, que no dependen tanto de números sino de propiedades estructurales. Con este punto de vista una esfera de radio 1 en el espacio tridimensional es ¨lo mismo¨ que una esfera de radio 1000. Por supuesto, la primera abarca una superficie y un volumen ínfimos comparados con la segunda, y la curvatura de la segunda es muchísimo más pequeña (¨del orden de 1 millón de veces más, ya que la superficie se aplana 1000 veces a lo ancho y otras 1000 a lo alto, que multiplicadas nos dan 1 millón¨). Entonces, ¿qué quiere decir que estructuralmente son iguales? Pues que una se puede deformar a la otra sin romperse: un concepto cualitativo.
A los topológos les encanta comentar que una rosquilla es lo mismo que una taza de té. Lo único importante es que ambas tienen una sola asa. Si fueran de plastilina maleable, podríamos deformar la una a la otra sin dificultad: presionando con el dedo en cualquier punto de la rosquilla creamos el ¨cuenco¨ de la taza, y desde ahí ya es simplemente estirar la plastilina hasta darla la forma deseada.
Paso 1: La rosquilla, que es un objeto tridimensional
con un agujero en el centro. Vamos a ver como deformarla, pensando que está hecha
de plastilina. En dos sencillos pasos la transformaremos en una taza de café.
Paso 2: Estiramos la parte derecha de la rosquilla, con lo que el agujero queda desplazado a la izquierda. El pie rojo indica el lugar donde debemos hace presión hacía abajo.
Paso 3: Gracias a la presión ejercida, hemos conseguido crear un agujero, que es precisamente
el cuenco de la taza de café. Todo este proceso ha sido ¨topológico¨, es decir, en ningún momento
hemos roto la masa moldeable, solo la hemos estirado o aplastado de forma conveniente para
lograr nuestro objetivo.
Fuente: Figura creada por Álvaro Pelayo
Es importante tener en cuenta que no podemos romper la rosquilla, porque eso sería trampa: por ejemplo, no hay forma de deformar sin romper, la cascara de una naranja para transformarla en una moneda de 1 euro. Lo que si podemos hacer es quitarle a la naranja el tallo, y entonces, si fuese maleable, podríamos ir haciendo el agujero que deja el tallo cada vez más grande —imaginemos que la cáscara es de arcilla— hasta achatar la cáscara y convertirla en nuestra moneda. ¡Estos ejemplos representan la esencia de la topología!
Otro fenómeno cualitativo, de los que se preocupan los topólogos, es si una curva que depende del tiempo en el plano se escapa al infinito. Esto quiere decir que si dibujamos cualquier círculo con centro en la intersección de los ejes X e Y, aunque tenga radio enorme, la curva siempre acaba saliéndose del mismo. Al topólogo no le importa como sale de rápido la curva, sino si acaba escapando a cualquier círculo que la confina. Si por otro lado la curva representase una función de beneficios para un economista, esa rapidez – dada por una medida cuantitativa – si le importaría y mucho.
Fuente: Figurada creada por Álvaro Pelayo
La topología tiene poco más de cien años de historia. Uno de sus problemas más famosos es la Conjetura de Poincaré, resuelta hace poco más de veinte años por Grigori Perelman (usando resultados de Richard Hamilton). Por su resolución, Perelman fue galardonado con la Medalla Fields en 2006, que nunca recogió. La conjetura es un problema fascinante sobre esferas tridimensionales y nudos, y su resolución fue también premiada con un millón de dólares por el prestigioso Instituto Clay de Estados Unidos (os recomiendo el reciente coloquio πZZ∀MAT del eminente topológo José María Montesinos, sobre ella). Perelman usó métodos geométricos y analíticos – como el flujo de Ricci y poderosas ideas de la mencionada geometría riemanniana — demostrando la importancia de la interacción de la topología con la geometría.
Como casi todas las ramas de las matemáticas, la topología tiene innumerables aplicaciones: a la geometría, álgebra, análisis matemático, análisis de datos, biología, el estudio del ADN, física matemática y otras múltiples áreas. La topología es, de hecho, una rama que interactúa de modo esencial, complementado el punto de vista cuantitativo de otras áreas.
Por ejemplo, hay un objeto conocido como el Polinomio de Jones (inventado por el Medallista Fields Vaughan Jones) que asigna un tipo de polinomios a lazos/nudos topológicos unidimensionales, y que tiene conexiones y aplicaciones físico-matemáticas profundas: está ligado a la teoría cuántica de campos, la geometría simpléctica, la mecánica clásica, la mecánica estadística, etc.
La topología tiene también conexiones con la teoría de números y un tipo especial de números llamados p-ádicos, que son de naturaleza fractal, y a través de los cuales algunos físicos y matemáticos estamos intentando entender la naturaleza geométrica y topológica del mundo a escalas más pequeñas que subatómicas.
Con frecuencia, los análisis de lo fenómenos más complejos del mundo real requieren combinar un ángulo cualitativo con uno cuantitativo. Ello hace que las matemáticas en general y la topología en particular se conviertan en la base indispensable en la que se sustentan una gran cantidad de los estudios de las ciencias naturales, la economía, la ingeniería, y por supuesto la inteligencia artificial.
