Cuando tenemos un conjunto grande de datos, es útil analizar alrededor de qué valor se posicionan. La manera más habitual de localizar un valor central, por todos conocida, es utilizar la media. Este valor representa el “centro de gravedad” de los datos, el lugar donde habría que poner un punto de apoyo para mantener los datos en equilibrio, si los imaginamos en una balanza. Otra manera distinta de identificar un punto central sería pensar en el valor que deja la mitad de los datos a un lado y la otra mitad al otro; en este caso, estaríamos utilizando la mediana.
La media y la mediana son dos indicadores que representan un valor central de los datos (con distinta interpretación). Sin embargo, existen ejemplos que pueden cuestionar su validez como valor resumen. En este artículo veremos una alternativa que cada vez va ganando más auge: la moda (estadística). La exposición intenta mantener un nivel amigable, para llegar al mayor número posible de lectores; una revisión más técnica puede verse en el artículo [2].
Cuando media y mediana fallan
¿En qué casos la media y la mediana no parecen una buena idea como valor central de los datos? El ejemplo más claro es el de los salarios: no tiene mucho sentido considerar el salario medio de todos los trabajadores de una empresa como valor representativo de dichos sueldos. Esto se debe a que los puestos más altos normalmente tienen salarios mucho más elevados que la mayoría de los empleados, lo que hace que la media (para equilibrar la balanza) se desplace hacia valores grandes, muy alejados de lo que se percibe como salario habitual entre la mayoría de trabajadores. La mediana suele corregir un poco esta desviación, pero señala un salario que está por encima del que cobran la mitad de los empleados (y por debajo del de la otra mitad), de forma que tampoco representa el salario más habitual.
Este mismo fenómeno se observa en otras variables socioeconómicas, como los ingresos familiares, los ahorros o los precios de las viviendas en una determinada zona, pero también en otras situaciones tan diversas como los tiempos de espera en una cola, el número de habitantes de las ciudades de un país o el número de goles de un partido de fútbol.
La Figura 1 muestra un claro ejemplo de esta situación. En ella se explora, mediante un histograma, la distribución de salarios anuales (en miles de dólares) de los empleados públicos de la ciudad de Baltimore en el año 2024. El ayuntamiento de dicha ciudad los publica anualmente, de forma abierta, en su portal de transparencia (data.baltimorecity.gov). Se han omitido en la representación los salarios menores a 30 000 dólares, que corresponden a puestos temporales o a tiempo parcial, quedando un total de n = 11 348 salarios observados.
Se puede apreciar una gran disparidad en las observaciones, con valores que van más allá de los 300 000 dólares. El salario medio es de casi 77 500 dólares, mientras que la mediana se sitúa en 74 000 dólares. Sin embargo, estos valores podrían ser percibidos como exagerados por una buena parte de los empleados. La razón es que, como podemos observar en el histograma, el tramo de salarios más habitual está entre 40 000 y 50 000 dólares. De hecho, 3 360 empleados (casi un 30 % del total) cobran entre 40 000 y 60 000 dólares, lejos de los valores de la media y la mediana.
La moda de un conjunto de datos
En los cursos básicos de Estadística, la moda de un conjunto de datos se define normalmente como el valor que más se repite. Sin embargo, para muchas de las variables observadas hoy día, esta definición no tiene mucho sentido, porque al registrar valores con cierta precisión, suele ocurrir que nunca se observan datos repetidos. En su lugar, para recoger la idea de un valor que represente lo más habitual dentro del conjunto de datos, podemos pensar en la moda como el punto central de la columna de mayor altura del histograma. Para el conjunto de salarios de Baltimore, la moda estimada de esta forma resulta ser de 45 000 dólares.
Al contrario que la media (que representa el centro de gravedad) o la mediana (que divide los datos en dos mitades iguales), la moda representa el valor alrededor del cual es más probable encontrar observaciones del conjunto de datos. Por ejemplo, más de un 40 % de los empleados tiene salarios entre 39 285 y 66 838 dólares. Seguramente estos sueldos les resultarían más razonables a buena parte de los trabajadores que los señalados por la media y la mediana. Ese rango de salarios, que es el más corto que concentra tal cantidad de empleados, se posiciona necesariamente alrededor de la moda. Es lo que en términos estadísticos se denomina una región de alta densidad [5].
El histograma de la Figura 1 se construye contando el número de empleados que hay en los tramos de 30 000–40 000 dólares, 40 000–50 000 dólares, etc. Como el segundo de estos tramos es el más numeroso (1744 empleados), hemos situado la moda estimada en su valor central, 45 000 dólares. Sin embargo, en lugar de examinar tramos de 10 000 dólares con extremos fijos (30 000, 40 000, etc.), una forma más precisa de aproximar la moda consiste en buscar el intervalo de amplitud 10 000 dólares que contenga la mayor cantidad de empleados al desplazar sus extremos. En este caso, dicho rango se encuentra entre los 43 175 y los 53 175 dólares (1949 empleados), y su valor central da lugar a una moda estimada de 48 175 dólares. Esto es lo que se conoce como estimador naíf de la moda, propuesto por Chernoff [4].
Tradicionalmente, una desventaja de la moda es que su cálculo requiere cierto esfuerzo de computación, mayor que el necesario para obtener la media o la mediana. En efecto, no es fácil calcular cualquiera de las dos aproximaciones anteriores de la moda “a mano”. Pero, teniendo en cuenta que este conjunto de datos tiene n = 11 348 observaciones, tampoco parece sencillo obtener ni la media ni la mediana, si no es con la ayuda de un ordenador. Y, si asumimos que tendremos que usar un ordenador para analizar nuestros datos (algo prácticamente imprescindible hoy día), entonces el esfuerzo computacional para calcular la moda deja de ser un problema.
Muchas modas
La Figura 2 trata otro conjunto de datos interesante. En esta ocasión, el histograma muestra la distribución de precios de n = 11826 viviendas en venta en la ciudad de Madrid, capturados a principios del año 2025 de un conocido portal inmobiliario (los datos están públicamente disponibles en www.kaggle.com/fjcob1/datasets). No se incluyen en la representación el 5 % de los valores más altos, que superaban los 3 millones de euros. Si se tienen en cuenta dichos valores, la media de precios se sitúa en algo más de 1 millón de euros, y la mediana se queda en 620 000 euros. Y, sin embargo, la horquilla de 100 000 euros que concentra la mayor oferta es la que va de 170 000 a 270 000 euros (1769 viviendas), lo que implica una moda estimada de 220 000 euros, bastante alejada de media y mediana.
Dicho valor puede resultar sorprendente, pero una búsqueda restringida revela que es alrededor de ese precio donde se concentra una mayor cantidad de anuncios. Lo que ocurre es que los precios de viviendas no son homogéneos, sino que se dividen en distintos subgrupos dependiendo de factores como la ubicación, el tamaño y distribución, o el estado y las calidades, que corresponden a distintos segmentos de mercado. Para identificar dichos subgrupos, la Figura 2 incluye, además del histograma, una representación más precisa de la distribución de precios, basada en la función de densidad estimada (curva azul). Una densidad más alta en un cierto rango de precios corresponde a una mayor concentración de precios observados en ese rango. Así, la moda del conjunto de precios, entendida como el valor de mayor densidad, se localiza en torno a los 188 000 euros. De hecho, más de un 35 % de las viviendas ofertadas (4203 anuncios) tienen precios que oscilan entre 100 000 y 400 000 euros.
La moda, como valor de máxima densidad, señala el rango de precios más frecuentes entre las ofertas analizadas. Pero, siguiendo esta misma lógica, también tendría interés examinar qué ocurre alrededor de otros máximos relativos de la densidad, pues corresponden a precios alrededor de los cuales hay una mayor de concentración de ofertas, en comparación con otros. En los datos de las viviendas, estas modas locales se observan, además de la ya mencionada en 188 000 euros (moda absoluta), alrededor de los valores 769 000, 1 363 000, 1 747 000 y 2 315 000 euros, que están representados en la Figura 2 mediante cruces. Estos valores representan los precios más usuales en los distintos segmentos de mercado, y entre ellos se puede apreciar cierto vacío, o hundimiento de la oferta. Por ejemplo, alrededor de la moda local de 1 363 000 euros existe una oferta relativamente mayor que en otros valores cercanos: mientras que hay 374 viviendas en venta con precios entre 1.3 y 1.4 millones de euros, solo hay 237 con precios entre 1 y 1.1 millones y solo 147 entre 1.53 y 1.63 millones.
Conclusiones
Este artículo pone de manifiesto la utilidad de la moda estadística a la hora de analizar conjuntos de datos como los que se pueden encontrar hoy día. Es una alternativa a las medidas tradicionales de la media y la mediana, y busca señalar una característica diferente: la zona donde es más probable encontrar observaciones de un conjunto de datos.
Los ejemplos seleccionados para ilustrar estas diferencias tienen una particularidad en común: la distribución de los datos es marcadamente asimétrica. Han sido escogidos así porque precisamente las mayores discrepancias entre estas tres medidas de centralidad se aprecian en este caso. De hecho, cuando hay simetría en los datos, entonces media, mediana y moda coinciden. Pero, incluso en ese escenario de simetría, estudios recientes sugieren que en muchas situaciones sigue mereciendo la pena utilizar la moda, pues presenta mejores propiedades que sus competidores [3].
Y, si en vez de estudiar solamente la moda absoluta, se hace un análisis más detallado, investigando las distintas modas relativas, esto permite segmentar el conjunto de datos en diferentes regiones de alta concentración de observaciones. Es lo que se denomina análisis cluster modal, para descubrir subgrupos homogéneos dentro de un conjunto grande de datos [1]. Por ejemplo, un estudio más pormenorizado de los sueldos de Baltimore (no incluido aquí, por brevedad) permite desvelar los distintos tramos salariales.
Sin duda, el análisis de datos basado en las modas tiene mucho que decir en la práctica estadística actual.
Referencias
[1] Chacón, J. E. (2015). A population background for nonparametric density-based clustering. Statistical Science, 30(4):518–532. doi:10.1214/15-STS526.
[2] Chacón, J. E. (2020). The modal age of statistics. International Statistical Review, 88(1):122–141. doi:10.1111/insr.12340.
[3] Chacón, J. E. y Fernández Serrano, J. (2025). Mode-based estimation of the center of symmetry. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 77(5):685–717. doi:10.1007/s10463-025-00942-z.
[4] Chernoff, H. (1964). Estimation of the mode. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 16(1):31–41.doi:10.1007/BF02868560.
[5] Hyndman, R. J. (1996). Computing and graphing highest density regions. The American Statistician, 50(2):120–126. doi:10.1080/00031305.1996.10474359.
