Para contener una epidemia, científicos en las primeras décadas del siglo XX elaboraron un modelo que nos decía cómo evoluciona una epidemia. Y usando ese modelo, podemos poner en práctica medidas que la dificulten o la detengan totalmente. El modelo estaba desarrollado en un artículo del año 1927, de Kermack y McKendrick: «A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics», publicado en los Proceedings of the Royal Society of London.
Es interesante conocer algo más sobre los autores, ya que bien es sabido que nada nace de manera espontánea, sino que hay una historia detrás que llevó a este par de científicos a sus hallazgos. El antecedente a este modelo es el trabajo de Ronald Ross (Almora, 1857 – Londres, 1932) por estudiar los mecanismos implicados en la propagación de la malaria. Para incluir argumentos matemáticos, Ronald Ross descompuso ese proceso de transmisión desde una persona infectada a otra persona sana en sus elementos básicos:
– cuántas personas podrían contagiarse en promedio de malaria cada mes en una determinada área geográfica,
– la proporción de mosquitos que podrían picar a las personas infectadas y a las personas sanas,
– y el tiempo de reproducción de los parásitos dentro de un mosquito infectado.
Estos elementos, debidamente combinados, constituyen el proceso de infección, que actúa de manera paralela al proceso de recuperación asociado a cada persona infectada.
Ronald Ross publicó sus resultados en 1901 en su libro “The Prevention of Malaria”, introduciendo así un enfoque “mecanicista”, como enfoque contrapuesto al “descriptivo” que imperaba en ese momento.
Uno de los miembros de una expedición de Ross a Sierra Leona en 1901, fue precisamente Anderson Gray McKendrick (Edimburgo, 1876 – Cambridge, 1943), quien mantuvo largas conversaciones con Ronald Ross sobre las matemáticas en la transmisión de epidemias. Anderson Gray McKendrick es hoy considerado el pionero del uso de herramientas estocásticas en la propagación de enfermedades infecciosas gracias a la publicación, en el año 1926, del artículo “Applications of Mathematics to medical problems”. En 1927, Anderson Gray McKendrick iniciaría una fructífera colaboración científica con el bioquímico escocés William Ogilvy Kermack (Kirriemuir, 1898 – Aberdeen, 1970) Reino Unido, que daría lugar a la llamada teoría de Kermack- McKendrick.
Ese modelo es hoy conocido con las siglas SIR, aludiendo a los tres compartimentos o subpoblaciones en que los individuos de una población de tamaño N (supuesto constante) son clasificados según su estado: susceptible (S), infectado (I) y resistente (R) –, y la posible evolución del estado del individuo, S→I→R, a lo largo de la epidemia.
Es interesante saber que no fueron sus méritos como bioquímico lo que llevaron a William Ogilvy Kermack a esta colaboración, sino la mala suerte de que una explosión fortuita ocurrida en el laboratorio del Royal College of Physicians, en Edimburgo, en el verano de 1924, en la que una solución alcalina corrosiva alcanzó sus ojos dejándolo ciego a la edad de 26 años. Durante los dos meses que permaneció convaleciente en el hospital, memorizó textos matemáticos que le eran leídos por amigos y enfermeras con el objetivo de probar cómo podría obtener información por otras vías distintas a la vista que había perdido. Una vez recuperado, Kermack abandonó los experimentos químicos y comenzó a colaborar con McKendrick.
En términos de la versión determinista del modelo SIR, la propagación de un patógeno está vinculada al sistema de ecuaciones diferenciales para las proporciones s(t) de susceptibles o sanos, i(t) de infectados y r(t) de removidos – aludiendo a los individuos que se recuperan de la enfermedad, adquiriendo
inmunidad al patógeno, o fallecen – respecto al tamaño N de la población.
Si denotamos por β la tasa de infección y α la tasa de recuperación, Kermack y McKendrick construyeron un simple sistema de ecuaciones diferenciales:
Precisamente el cociente R0=β⁄α es lo que se llama la tasa de reproducción básica y es lo que necesitamos bajar para dfetener la epidemia.
El modelo SIR no es el único modelo para estudiar y combatir epidemias; por ejemplo, las cadenas de Markov se han mostrado como instrumentos muy útiles. Andrey Markov (Riazán, Rusia, 1856 – San Petersburgo, 1922). Su padre, hijo de un diácono rural, estudió en un seminario, consiguiendo posteriormente un empleo en el Departamento Forestal en San Petersburgo. Era el mayor de los dos hijos varones en una familia numerosa, donde su hermano menor, Vladimir, muerto prematuramente de tuberculosis, había conseguido en un corto intervalo de vida una gran reputación como buen matemático.
A pesar de una salud delicada, que le obligaría a usar muletas hasta los diez años, Andrey Markov pronto destacó como su hermano en la escuela por sus altas capacidades matemáticas. Eso le llevaría a estudiar esta materia en la prestigiosa facultad de Física y Matemáticas de la Universidad de San Petersburgo, participando en los seminarios de un matemático tan brillante y con gran capacidad de liderazgo como Pafnuti Lvóvich Chebyshov (Okátovo, – San Petersburgo, 1894), conocido como Chebyshev. Para representar los posibles sucesos que pueden ocurrir tendremos unos estados E1,E2, … de manera que la cadena de Markov transita desde uno a otro de acuerdo a una matriz de probabilidades de transición, matriz que contiene la información de las probabilidades de paso de un estado al siguiente y, como consecuencia, está compuesta por números reales no-negativos y menores o iguales que 1, de manera que la suma de cada fila sea 1.
La investigación de operaciones es otro instrumento muy válido, ya que permite la optimización de los recursos disponibles una vez que la epidemia se ha desatado. Diseñar el operativo de camas disponibles en los hospitales, las mejores rutas para el traslado de pacientes, los recursos humanos que en cada hospital están a disposición de los pacientes, son los elementos que un buen programa permitirá optimizar.
Finalmente, un método muy gráfico son las series temporales. Todos recordamos los diagramas que continuamente se exhibían en las pantallas televisivas y que, usando métodos estadísticos, nos informaban del número de pacientes fallecidos, de infectados, de recuperados.
Una serie temporal no es más que una colección de datos que son recogidos en instantes de tiempo equidistantes, por ejemplo:
– los litros de lluvia recogidos cada día en un determinado lugar
– el número de fallecidos por Covid-19 confirmados cada día en una comunidad autónoma.
Hay por lo tanto un aspecto clave y es precisamente la evolución de estos datos con el tiempo, es decir, no tratamos con sucesos aleatorios. Con una serie temporal se intenta tener una buena comprensión de lo que ha ocurrido en el pasado y aprovechar ese conocimiento para predecir el futuro, usando métodos estadísticos que nos van dando esa evolución.
Todos estos instrumentos son objeto de una investigación continuada. Ya lo eran, pero en algunos casos se ha incentivado esa actividad. A título de ejemplo, este año asistí a un importante congreso en Denver, la 2025 SIAM Conference on Applications of Dynamical Systems, en el que hubo varios minisimposios dedicados a estos temas. Por ejemplo, un modelo SIRSV clásico ampliado que incorpora un compartimento de vacunados que tiene en cuenta una vacuna imperfecta con una eficacia que disminuye con el tiempo. O un sistema de control en tiempo continuo de cuatro estados que modela poblaciones susceptibles, infectadas, aisladas y recuperadas (modelo SIQR) en presencia de una enfermedad infecciosa contra la que la inmunidad es duradera, y cuyos tres controles de retroalimentación representan el aislamiento, la regulación de los contactos y la vacunación. Los matemáticos seguimos trabajando en este y otros modelos, a veces de forma abstracta, teniendo en cuenta que el conocimiento que se va desarrollando puede ser aplicado en muchos otros temas.
En lo que se refiere al entorno urbano, la situación es muy compleja y no parece que se hayan tomado medidas para paliar el hacinamiento de algunos barrios, lo que favorece sin duda la transmisión de enfermedades contagiosas. O pensemos en los aviones, cada vez más abarrotados al disminuir cada vez más el espacio entre asientos, lo que favorece la transmisión a larga distancia. La creación de nuevas zonas verdes es un arma de doble filo, porque son útiles para combatir la emergencia climática, pero favorecen la proliferación de mosquitos que en algunas zonas del planeta transmiten el dengue y otras enfermedades. Pandemias como la de la Covid-19 pueden surgir en cualquier momento ya que los reservorios de virus son enormes, y la desatención de países poderosos como Estados Unidos a la Organización Mundial de la Salud no favorece precisamente la alerta temprana. Afortunadamente, el desarrollo de vacunas basadas en el ARN ha abierto un mundo nuevo que nos puede volver a salvar en un tiempo récord. Confiemos en las matemáticas y en la ciencia, son nuestras grandes valedoras.
